deniok

Предыдущие посты этой серии:
1. Типы как неподвижные точки функторов
2. Алгебры и катаморфизмы

Краткое содержание предыдущих серий

С помощью аналога fix для типов:

data Rec f = In (f (Rec f))

мы научились представлять любые рекурсивные типы.

Введя понятие f-алгебры как функции phi :: f a -> a для заданных функтора f и типа a, мы пришли к нотации катаморфизма:

cata :: Functor f => (f a -> a) -> Rec f -> a
cata phi (In x) = phi (fmap (cata phi) x)

Мы увидели, что задавая разные f-алгебры (phi :: f a -> a), мы можем универсально описывать стратегии свертывания произвольных алгебраических структур:

foldFunctor :: Functor f => Rec f -> a
foldFunctor = cata phi

А можно ли наоборот?

Попробуем решить обратную задачу - не свертки рекурсивного типа данных в значение, а "развертывания" такого типа на основе значения. В классическом Хаскелле этим занимается

unfoldr :: (b -> Maybe (a, b)) -> b -> [a]

из Data.List. Конечно в этом случае целевым функтором является список. Очевидно, что искомый тип нашего "развёртывателя":

unfoldFunctor :: Functor f => a -> Rec f

Анаморфизмы и коалгебры

Мы строили катаморфизмы на основе изоморфизма In :: f (Rec f) -> Rec f (f-инварианта), при этом следующее преобразование было тождественным:

copy :: Functor f => Rec f -> Rec f
copy (In x) = In (fmap copy x)

Зададим теперь тождественное преобразование рекурсивной структуры

copy' :: Functor f => Rec f -> Rec f
copy' x = In (fmap copy' (out x))

базирующиеся на основе изоморфизма, обратного к изоморфизму In

out :: Rec f -> f (Rec f)
out (In x) = x

Покажем что copy' = id на примере выражения In (S (In (S (In Z)))) типа Nat:

copy'               (In (S (In (S (In Z)))))   ~> по def copy'
In (fmap copy' (out (In (S (In (S (In Z))))))  ~> по def out
In (fmap copy'          (S (In (S (In Z))))    ~> по def fmap
In (S (copy'               (In (S (In Z)))))   ~> по def copy'
In (S (In (fmap copy' (out (In (S (In Z))))))) ~> по def out
In (S (In (fmap copy'          (S (In Z)))))   ~> по def fmap
In (S (In (S (copy'               (In Z)))))   ~> по def copy'
In (S (In (S (In (fmap copy'(out  (In Z))))))) ~> по def out
In (S (In (S (In (fmap copy'          Z)))))   ~> по def fmap
In (S (In (S (In (Z)))))

Заменим теперь каждое вхождение out :: Rec f -> f (Rec f) на произвольную функцию psi :: a -> f a. Получим нотацию анаморфизма:

ana :: Functor f => (a -> f a) -> a -> Rec f
ana psi x = In (fmap (ana psi) (psi x))

Функцию psi :: a -> f a называют f-коалгеброй - она описывает способ получения функтора f a на основе значений типа a.

Пример: тип Nat

Для рекурсивного типа

data N c = Z | S c 

instance Functor N where
  fmap g  Z    = Z
  fmap g (S x) = S (g x)

type Nat = Rec N

мы имели N-алгебру

phi_N :: N Int -> Int
phi_N Z     = 0
phi_N (S n) = succ n

и катаморфизм, задающий преобразование

natToInt :: Nat -> Int
natToInt = cata phi_N

Дуальная к этой алгебре N-коалгебра

psi_N :: Int -> N Int
psi_N 0 = Z
psi_N n = S (n-1)

задает анаморфизм

intToNat :: Int -> Nat
intToNat = ana psi_N

выполняющий обратное преобразование.
Смотрим в GHCi:

*Bis> intToNat 42
(In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S 
(In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S 
(In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S 
(In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S (In (S 
(In (S (In (S (In (Z)))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
*Bis> natToInt (intToNat 42)
42

Саму по себе работу анаморфизма можно увидеть, расписав пошаговые редукции вызова функции ana, например:

ana                                  psi_N 2       ~> по def ana
In (               fmap (ana psi_N) (psi_N 2))     ~> по def psi_N
In (               fmap (ana psi_N)     (S 1))     ~> по def fmap
In (S (                  ana psi_N         1))     ~> по def ana
In (S (In (        fmap (ana psi_N) (psi_N 1))))   ~> по def psi_N
In (S (In (        fmap (ana psi_N)     (S 0))))   ~> по def fmap
In (S (In (S (           ana psi_N         0))))   ~> по def ana
In (S (In (S (In ( fmap (ana psi_N) (psi_N 0)))))) ~> по def psi_N
In (S (In (S (In ( fmap (ana psi_N) Z)))))         ~> по def fmap
In (S (In (S (In (Z)))))

Пример-упражнение: тип Bin

Можно смонтировать рекурсивный тип данных для двоичного представления натуральных чисел:

data Bin = Empty | Zero Bin | One Bin

При таком определении двоичные числа читаются справа налево

                Empty   = 0
            One Empty   = 1
      Zero (One Empty)  = 2
      One  (One Empty)  = 3
Zero (Zero (One Empty)) = 4
и т.д.

УПРАЖНЕНИЕ: Запишите тип Bin как неподвижную точку функтора B. Реализуйте B-алгебру, задающую катаморфизм, преобразующий этот тип в тип Int. Реализуйте B-коалгебру, задающую анаморфизм, генерирующий двоичное Bin-представление на основе переданного числа типа Int.