Удивительный факт

[deniok]

Этот пост будет интересен любителям математики
(с) avva

Сегодня обсуждали некоторый факт из теории вероятностей. Для меня удивительный, возможно, из-за того, что у меня не матмеховское, а физфаковское образование :)

Вот есть у нас несколько значений xi (i=1,2,...,n) (для простоты равновероятных, хотя это не важно) и мы хотим определить каким-то образом среднее x. Ну задаем стандартную меру отклонения (x-x_i)^2, суммируем по всем i, и ищем минимум по x. Выходит метод наименьших квадратов; оптимальный x равен сумме всех xi деленной на n. Получается, что x - обычное матожидание, это само по себе довольно интересно (как метод его введения), хотя и ясно интуитивно.

А если в качестве меры отклонения взять не квадрат, а модуль |x-x_i| и искать минимум суммы модулей? Какой тогда выйдет оптимум? Результат оказался для меня удивительным, я никогда не увязывал получившуюся величину (какую кстати?) с оптимизацией по такой мере.

Забавно, что из участвовавших в обсуждении: физики-теоретики находят ответ, используя дифференцирование; математики - исходя из других соображений.

Comments

[vanja-y.livejournal.com]

Медиана получится?

[deni-ok.livejournal.com]

Да.

[vanja-y.livejournal.com]

Обошлся без дифференцирования:), даже не представляю куда бы его приткнуть...

[deni-ok.livejournal.com]

Дифференцирование каждого модулей даст скачок, в сумме будет сумма скачков, которая обращается в ноль в "среднем" по номеру из скачков. Где ноль производной - там и экстремум :))

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Это мы о моментах рассуждаем?

[deni-ok.livejournal.com]

Видимо, да.

[avva.livejournal.com]

Если справа от точки-кандидата больше значений, чем слева, то двигаться вправо "выгоднее" с точки зрения уменьшения суммы модулей, и наоборот. Поэтому ясно, что медиана - а если точек четное число, то целый отрезок между двумя серединными.

[migmit.vox.com (from livejournal.com)]

Я примерно также рассуждал.